高斯公式
曲面积分与三重积分的关系(散度定理)
← 返回首页
公式展示
∫∫_Σ F·dS = ∫∫∫_Ω divF dV
Σ为闭曲面外侧，Ω为所围区域
字母含义
字母
含义
Σ
空间闭曲面(取外侧)
Ω
Σ所围的空间区域
F
向量场(P,Q,R)
divF
散度=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z
公式详解
高斯公式(散度定理)将闭曲面上的曲面积分转化为所围区域上的三重积分，是格林公式的推广。
公式
：∫∫_Σ P dydz+Q dzdx+R dxdy = ∫∫∫_Ω (∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z) dV
散度
：divF=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z
条件
：P,Q,R在Ω上有一阶连续偏导数，Σ取外侧
非闭曲面
：可补面使其闭合后用高斯公式
物理意义
：向量场通过闭曲面的通量等于区域内源的总和
典型例题
例1：基本应用
F=(x,y,z)，Σ为x²+y²+z²=R²外侧，求通量。
divF=3，通量=∫∫∫3 dV=3×(4/3πR³)=4πR³
例2：补面法
Σ为上半球面z=√(R²-x²-y²)上侧，补底面z=0下侧，用高斯公式。
例3：散度为零
F=(y,z,x)，divF=0，任意闭曲面通量=0。
常见误区与注意事项
曲面取外侧
高斯公式要求闭曲面取外侧，内侧需加负号。
非闭曲面要补面
补面后注意补面的方向，使整体为外侧。
偏导数连续
P,Q,R需在Ω内有一阶连续偏导数，有奇点时挖洞。
常见问题
高斯公式和格林公式什么关系？
高斯公式是格林公式在三维的推广，格林公式是二维的。
高斯公式中曲面方向？
闭曲面取外侧。取内侧时结果加负号。
散度为零说明什么？
divF=0时，向量场通过任意闭曲面的通量为零，称为无源场。
相关公式
格林公式
傅里叶变换公式
欧拉公式
泰勒公式
香农公式